iPhone 6sに機種を新しくしたので、Apple Watch (Sport)のペアリング相手をiPhone 6からiPhone 6sに移行させなくてはいけません。でないと、Apple Watchが使い物にならなくなっちゃう…という事で早速移行させました。
新しいiPhoneに変えたらどうなるんだ？というのと同じですね。

まずは、ペアリングの解除。
Appleのサポートページ Apple Watch と iPhone のペアリングを解除する を見ながら、iPhone 6からペアリングを解除します。

続いて、iPhone 6sでApple Watchとペアリング開始。
iPhone 6sに入っているApple Watchアプリからペアリングを開始します。
ペアリングするとアクティビティアプリがiPhone側に出てきます。
その後、watchOS2へアップデート。
watchOS2へはiOS9からしか出来ないため、iPhone 6sが来るのを待っていました。
(iPhone 6はiOS8.4.1で打ち止め)

アップデートには、思いの外時間がかかります(かなりかかりました)。

ペアリングを解除した事で、一度Apple Watchはリセットされた状態へとなります。
写真とかも完全に消えてしまいます。やっぱそこはApple Watch単体では成立しないんですね。ただし、取得したデータはアクティビティに残っています。ペアリングしないとアクティビティアプリは出てこないけど、ペアリングを解除してもアプリは残ります。サーバ(iPhone)-クライアント(Apple Watch)みたいな関係ですね。
解除〜再ペアリングもなかなか時間がかかりました。

後は手順に沿っていけば、Apple Watchが新しいiPhoneで使える様になります。